Эксцентриситет

Эллипс (*e=½*), парабола (*e=1*) и гипербола (*e=2*) с фиксированными фокусом [math]\displaystyle{ F }[/math] и директрисой: [math]\displaystyle{ FM = e \cdot MM' }[/math]

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается [math]\displaystyle{ e }[/math] или [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.

Определение

Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку [math]\displaystyle{ F }[/math] и прямую [math]\displaystyle{ d }[/math] и зададим вещественное число [math]\displaystyle{ e\gt 0 }[/math]; тогда геометрическое место точек [math]\displaystyle{ M }[/math], для которых отношение расстояний до точки [math]\displaystyle{ F }[/math] и до прямой [math]\displaystyle{ d }[/math] равно [math]\displaystyle{ e }[/math], является коническим сечением; то есть, если [math]\displaystyle{ M' }[/math] есть проекция [math]\displaystyle{ M }[/math] на [math]\displaystyle{ d }[/math], то

[math]\displaystyle{ FM = e \cdot MM' }[/math].

Это число [math]\displaystyle{ e }[/math] называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.

Связанные определения

Точка [math]\displaystyle{ F }[/math] называется фокусом конического сечения.

Прямая [math]\displaystyle{ d }[/math] называется директрисой.

Коническое сечение в полярных координатах

Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:

[math]\displaystyle{ r=\frac{\ell}{1-e\cos\varphi} }[/math],

где [math]\displaystyle{ e }[/math] — эксцентриситет, а [math]\displaystyle{ \ell }[/math] — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).

Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.

Свойства

В зависимости от эксцентриситета, получится:
- при [math]\displaystyle{ e\gt 1 }[/math] — гипербола. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
- при [math]\displaystyle{ e=1 }[/math] — парабола;
- при [math]\displaystyle{ 0\le e\lt 1 }[/math] — эллипс;
- для окружности полагают [math]\displaystyle{ e=0 }[/math].

Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году^[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра^[2].
Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ([math]\displaystyle{ b }[/math]) и большой ([math]\displaystyle{ a }[/math]) полуосей:

[math]\displaystyle{ e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} }[/math].

Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ([math]\displaystyle{ b }[/math]) и действительной ([math]\displaystyle{ a }[/math]) полуосей:

[math]\displaystyle{ e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} }[/math].

Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением [math]\displaystyle{ f(x)={k\over x}, x\neq 0, k\neq 0 }[/math], равен [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math].

Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ([math]\displaystyle{ r_\mathrm{per} }[/math]) и апоцентров ([math]\displaystyle{ r_\mathrm{ap} }[/math]):

[math]\displaystyle{ e=\frac{r_\mathrm{ap}-r_\mathrm{per}}{r_\mathrm{ap}+r_\mathrm{per}}=1-\frac{2}{\frac{r_\mathrm{ap}}{r_\mathrm{per}}+1} }[/math].

См. также

Примечания

↑ John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.
↑ The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

Литература

Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

[1] John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.

[2] The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.

[1]

[2]